Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является линейной относительно всех искомых функций [math]\displaystyle{ y_{i}(x) }[/math] и их производных всех порядков. Такую систему можно преобразовать к линейной системе первого порядка канонического вида, которую обычно и определяют, как СЛДУ.

Определение

Если в системе [math]\displaystyle{ n }[/math] дифференциальных уравнений имеется производная [math]\displaystyle{ y_i^{(k+1)}, k\gt 0 }[/math], то можно добавить новую искомую функцию [math]\displaystyle{ y_{n+1} }[/math], определяемую новым линейным уравнением [math]\displaystyle{ y_i^{(k)} = y_{n+1} }[/math]. Заменой [math]\displaystyle{ y_i^{(k+1)}=y_{n+1}' }[/math] в остальных уравнениях производная[math]\displaystyle{ y_i^{(k+1)} }[/math] исключается из системы. Последовательное выполнение этих операций для линейной системы приводит к линейной системе первого порядка. В линейной системе каждую производную можно подстановкой исключить из всех уравнений кроме одного. Поэтому систему линейных дифференциальных уравнений обычно определяют, как систему вида

[math]\displaystyle{ y'_j=\sum^{n}_{k=1} {p_{jk}(x)y_k}+f_j(x), j=1,2,\dots, n }[/math]

Линейное дифференциальное уравнение

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ y_0^{(n)}=\sum^{n-1}_{k=0} {p_{k}(x)y_0^{(k)}}+f_j(x) }[/math],

то описанным выше способом его можно преобразовать в систему [math]\displaystyle{ n }[/math] уравнений следующего вида

[math]\displaystyle{ \begin{cases}y'_0 = y_1 \\y'_1 = y_2 \\ \cdots \\y'_{n-2}=y_{n-1} \\ y'_{n-1}=\sum^{n-1}_{k=0} {p_{k}(x)y_k}+f_j(x) \end{cases} }[/math]

Решение СЛДУ

Общее решение однородной СЛДУ, получаемой приравниванием всех [math]\displaystyle{ f_j(x) }[/math] к нулю даётся формулами

[math]\displaystyle{ y_j=\sum^{n}_{k=1} {C_k y_{jk}(x)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ y_{j1}, y_{j2},\dots, y_{jn} }[/math] — линейно независимые частные решения однородной системы, то есть такие, что определитель [math]\displaystyle{ ||y(x)_{ij}|| \neq 0 }[/math] хотя бы в одной точке. В случае постоянных коэффициентов [math]\displaystyle{ p(x)_{jk}=a_{jk} }[/math] частные решения однородной системы следует искать в виде

[math]\displaystyle{ y_j(x)= (A_{j0}+ A_{j1}x+\dots+A_{jn_k-1}x^{n_k-1})e^{\lambda_jx} }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_{js} }[/math] — неопределённые коэффициенты, [math]\displaystyle{ \lambda_j }[/math] — корни характеристического уравнения

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix} = 0 }[/math]

и [math]\displaystyle{ n_k }[/math] — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных случаев производится методами линейной алгебры. Для решения СЛДУ с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Литература

• Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М.,1966
• Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.